Задача 60279

Темы:    [ Индукция (прочее) ] [ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Даны натуральные числа x₁, ..., x_n. Докажите, что число      можно представить в виде суммы квадратов двух целых чисел.

Подсказка

Утверждение немедленно следует из того, что произведение двух сумм двух квадратов является суммой двух квадратов (см. задачу 61078).

Замечания

Один из квадратов может быть и нулевым. Например,  (1² + 1) (1² + 1) = 4 = 2² + 0².  Однако если исходные числа различны, то ни на каком шаге нулевой квадрат не появляется.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	1
Название	Метод математической индукции
Тема	Индукция
параграф
Номер	1
Название	Аксиома индукции
Тема	Индукция (прочее)
задача
Номер	01.006
олимпиада
Название	Белорусские республиканские математические олимпиады
олимпиада
Год	1967
Номер	17
Название	17-я Белорусская республиканская математическая олимпиада
Задача
Название	Задача 10.2