Задача 60366

Темы:    [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Десятичные дроби (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что из 11 различных бесконечных десятичных дробей можно выбрать две такие, которые совпадают в бесконечном числе разрядов.

Подсказка

Для каждого разряда найдутся две дроби, совпадающие в этом разряде.

Решение

Выпишем 11 дробей друг под другом, чтобы цифры из одного разряда оказались в одном столбце. В каждом столбце 11 цифр, поэтому среди этих 11 цифр найдутся две равные. Пусть эти равные цифры находятся в k-й и m-й дробях. Поставим в соответствие этому столбцу пару чисел  (k, m).  Таким образом, каждому столбцу соответствует пара чисел от 1 до 11. Поскольку число пар таких чисел конечно, а число столбцов бесконечно, хотя бы одна из пар  (k₀, m₀)  была поставлена в соответствие бесконечному числу столбцов. Это означает, что дроби с номерами k₀, m₀ совпадают в бесконечном числе разрядов.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	2
Название	Принцип Дирихле
Тема	Принцип Дирихле (прочее)
задача
Номер	02.032