Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

   Решение

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Рациональные и иррациональные числа ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Сколько рациональных слагаемых содержится в разложении

а) ( + )¹⁰⁰;

б) ( + )³⁰⁰?

Решение

а) Чтобы число      было рациональным, k должно быть кратно 4. Таких целых чисел 26: 0, 4, 8, …, 96, 100.

б) Чтобы число      было рациональным, k должно быть кратно 3, а  300 – k  должно быть чётным. Значит, k кратно 6. Среди целых чисел от 0 до 300 таких  300 : 6 + 1 = 51.

Ответ

а) 26;  б) 51.

Источники и прецеденты использования