Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

   Решение

Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разложение на множители ] [ Итерации ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа  n + 1,  nⁿ + 1,  nⁿⁿ + 1,  ...  делятся на a.

Подсказка

n = 2a – 1.

Решение

Если n нечётно, то все указанные числа делятся на  n + 1.  Поэтому подходит любое нечётное число n, для которого  n + 1  кратно a. Например,
n = 2a – 1.

Источники и прецеденты использования