Задача 60437

Тема:    [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Каждая сторона в треугольнике ABC разделена на 8 равных отрезков. Сколько существует различных треугольников с вершинами в точках деления (точки A, B, C не могут быть вершинами треугольников), у которых ни одна сторона не параллельна ни одной из сторон треугольника ABC?

Решение

Пусть N_a — количество треугольников, у которых одна из сторон параллельна стороне BC исходного треугольника. Аналогично определим числа N_b, N_c, N_{a, b}, N_{b, c}, N_{a, c} и N_{a, b, c}. Через N обозначим общее число треугольников. Тогда N = 7³, N_a = N_b = N_c = 7², N_{a, b} = N_{b, c} = N_{a, c} = 7, N_{a, b, c} = 1. Искомое число находится по формуле включений и исключений:

7³ - 3 ^. 7² + 3 ^. 7 - 1 = 6³.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	2
Название	Комбинаторика
Тема	Комбинаторика
параграф
Номер	4
Название	Формула включений и исключений
Тема	Формула включения-исключения
задача
Номер	02.103