|
|
 |
Условие
Сколько существует целых чисел от 1 до 16500, которые
а) не делятся на 5;
б) не делятся ни на 5, ни на 3;
в) не делятся ни на 5, ни на 3, ни на 11?
Решение
а) Разобьём все числа на 16500 : 5 = 3300 пятерок последовательно идущих чисел. В каждой пятерке одно число делится на 5, а 4 – не делятся. Поэтому всего 4·3300 = 13200 чисел не делятся на 5.б) 3300 чисел делятся на 5. Аналогично 16500 : 3 = 5500 чисел делятся на 3. Из них 16500 : 15 = 1100 делятся на 15, то есть и на 5, и на 3. Они были сосчитаны дважды. Всего на 5 или на 3 делятся 3300 + 5500 – 1100 = 7700, а не делятся 16500 – 7700 = 8800 чисел.
в) На 11 делятся 16500 : 11 = 1500 чисел, на 5 и на 11 – 16500 : 55 = 300 чисел, на 3 и на 11 – 16500 : 33 = 500 чисел, на 3, на 5 и на
11 – 300 : 3 = 100 чисел.
По формуле включения-исключения всего на 3, на 5 или на 11 делятся 5500 + 3300 + 1500 – 1100 – 500 – 300 + 100 = 8500 чисел, а не делятся ни на одно из этих чисел 16500 – 8500 = 8000 чисел.
Ответ
а) 13200; б) 8800; в) 8000 чисел.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 2 |
| Название | Комбинаторика |
| Тема | Комбинаторика |
| параграф | |
| Номер | 4 |
| Название | Формула включений и исключений |
| Тема | Формула включения-исключения |
| задача | |
| Номер | 02.104 |
