Задача 60458

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Произведения и факториалы ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9 Название задачи: Обращение теоремы Вильсона.

Условие

Докажите, что если число  n! + 1  делится на  n + 1,  то  n + 1  – простое число.

Решение

Пусть  n + 1  – составное число. Если p – некоторый его простой делитель, то  p ≤ n.  Значит, n! делится на p, а  n! + 1  не делится. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Делимость и остатки
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	051
книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	1
Название	Простые числа
Тема	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители
задача
Номер	03.006