Задача 60503

Темы:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Обыкновенные дроби ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

При каких целых n сократимы дроби
  а)   ;   б)  ?

Решение

  а) Так как  (n² + 2n + 4, n² + n + 3) = (n + 1, 3),  то дробь будет сократима, когда  (n + 1, 3) = 3.

  б) Так как  (n³ – n² – 3n, n² – n + 3) = (n² – n + 3, 6n),  то дробь можно сократить либо на 2, либо на 3, либо на некоторый делитель числа n. Первый случай невозможен так как число  n² – n + 3  всегда нечётно. Во втором случае n должно равняться 3k или  3k + 1.  В третьем случае
(n² – n + 3, n) = (n, 3),  поэтому n снова должно быть числом вида 3k.

Ответ

а) При  n = 3k – 1;   б) при  n = 3k  и  n = 3k + 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.051