Задача 60512

Тема:    [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что если  (a, b) = 1,  то наибольший общий делитель чисел  a + b  и  a² + b²  равен 1 или 2.

Решение

Пусть  d = (a² + b², a + b).  Согласно задаче 60510 числа  a + b  и ab взаимно просты. Значит,  (a + b, 2ab) = 1  или 2. Число  2ab = (a + b)² – (a² + b²)  делится на d. Следовательно,  (a + b, 2ab)  делится на d.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.060