Задача 60517

Темы:    [ Алгоритм Евклида ] [ Числа Фибоначчи ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что число шагов в алгоритме Евклида может быть сколь угодно большим.

Подсказка

Начните, например, с двух соседних чисел Фибоначчи F_n и F_n+1.

Решение

F_n+1 = 1·F_n + F_n–1,  то есть F_n–1 – остаток от деления F_n+1 на F_n. Поэтому алгоритм Евклида для вычисления  (F_n+1, F_n)  содержит  n – 1  шаг (последний:  F₃ = 2F₂).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.065