Задача 60518

Темы:    [ Задачи на движение ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Существует ли в сутках момент, когда расположенные на общей оси часовая, минутная и секундная стрелки правильно идущих часов образуют попарно углы в 120°?

Решение

  Пусть после 12 часов часовая стрелка сделала a оборотов. Тогда минутная стрелка сделала 12a оборотов и обогнала часовую на 11a оборотов. Угол, кратный 120°, они будут составлять при  11a = ⁿ/₃,  то есть при  a = ⁿ/₃₃  (где n – целое число).
  За это время минутная стрелка сделала ^4a/₁₁ оборотов, а секундная – в 60 раз больше и обогнала минутную на  ^59·4n/₁₁  оборотов. Если n не делится на 11, то это число не кратно ¹/₃, а если делится, то это число – целое, то есть направления минутной и секундной стрелок совпадают.

Ответ

Не существует.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.066