Задача 60519

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите все взаимно простые a и b, для которых   = ³/₁₃.

Решение

  Из условия видно, что  a + b  кратно 3. Тогда и  a² – ab + b² = (a + b)² – 3ab  кратно 3. Значит,  a + b  делится на 9. Рассмотрим два случая.
  1) a и b положительны. Тогда  13(a + b) = 3(a + b)² – 9ab ≥ 3(a + b)² – ⁹/₄ (a + b)² = ³/₄ (a + b)²,  откуда  a + b ≤ ⁵²/₃.
  Следовательно,  a + b = 9,  (a + b)² – 3ab = 13,  ab = 14,  то есть  {a, b} = {7, 2}.
  2)  a > 0,  b ≤ 0.  Тогда  a ≥ 9,  13(a + b) = 3(a² – ab + b²) ≥ 3a² ≥ 27a ≥ 27(a + b).  Противоречие.

Ответ

{7, 2}.

Замечания

Условие взаимной простоты – лишнее.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.067