Задача 60520

Темы:    [ Уравнения в целых числах ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Докажите, что если  (a₁, a₂, ..., a_n) = 1,  то уравнение  a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = 1  разрешимо в целых числах.

Подсказка

По индукции нетрудно доказать более сильное утверждение: уравнение  a₁x₁ + a₂x₂ + ... + a_nx_n = (a₁, a₂, ..., a_n)  разрешимо в целых числах. При этом надо воспользоваться задачей 60521 б).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	2
Название	Алгоритм Евклида
Тема	Алгоритм Евклида
задача
Номер	03.068