|
|
 |
Условие
Отметим на прямой красным цветом все точки вида 81x + 100y, где x, y – натуральные, и синим цветом –
остальные целые точки.
Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно неё целые точки окрашены в разные цвета.
Решение
Решим задачу сразу в общем виде, заменив 81 и 100 на взаимно простые натуральные числа a и b, большие 2.
Ясно, что все все точки с координатами, меньшими a + b, – синие (а сама точка a + b – красная). Из решения задачи 60526 видно, что точка ab – синяя, а все точки с бóльшими ординатами – красные. Следовательно, искомой может быть только точка ½ (ab + a + b). Это значит, что для каждого целого ровно одно из уравнений x + by = c и ax + by = ab + a + b – c имеет натуральные решения. Докажем, что это действительно так.
Из задачи 60525 а) следует, что уравнение ax + by = c имеет решение (x0, y0), где 1 ≤ x0 ≤ b. Тогда (b + 1 – x0, 1 – y0) – решение уравнения
ax + by = ab + a + b – c. Если y0 > 0, то мы нашли натуральное решение первого уравнения, а если y0 ≤ 0, то – второго.
Пусть оба уравнения имеют натуральные решения. Тогда сумма этих двух решений является решением уравнения ax + by = ab + a + b. Но это уравнение имеет только два натуральных решения: (1, a + 1) и (b + 1, 1). Ни одно из них не может быть суммой двух пар натуральных чисел.
Ответ
Точка с координатой 4140,5.
Замечания
Ср. с задачей 73729.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 3 |
| Название | Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики |
| Тема | Алгебра и арифметика |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Алгоритм Евклида |
| Тема | Алгоритм Евклида |
| задача | |
| Номер | 03.075 |
