Задача 60537

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Правило произведения ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Пусть τ(n) – количество положительных делителей натурального числа  n = ,  а σ(n)  – их сумма. Докажите равенства:
  а)  τ(n) = (α₁ + 1)...(α_s + 1);   б)  σ(n) = ·...·.

Подсказка

См. решение задачи 30358.

Решение

  б) Рассмотрим выражение   .
  Каждый одночлен, который получится при раскрытии скобок в этом выражении, – один из делителей числа n. При этом, очевидно, каждый делитель встречается в полученной сумме ровно один раз. Поэтому сумма делителей равна значению этого выражения, то есть   ·...·.

  а) Количество делителей равно числу одночленов, которое мы получим, если заменим в каждой скобке все слагаемые на 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.085