Задача 60549

Темы:    [ Количество и сумма делителей числа ] [ Ряды (прочее) ]

Сложность: 5- Классы: 11

Условие

Может ли быть так, что   а)  σ(n) > 3n;   б)  σ(n) > 100n?

Решение

  а) По формуле из задачи 60537  σ(320) = σ(2³·3²·5) = 15·13·6 = 3·390 > 3·320.

  б) Пусть p₁, p₂, p₃, ... – возрастающая последовательность всех простых чисел.
  Согласно задаче 34918 найдётся такое m, что  1 + ½ + … + ¹/_m > 100.
  Пусть k и α таковы, что каждое число от 2 до m раскладывается в произведение простых чисел, не превосходящих p_k, в степенях, не превосходящих α. Возьмём  n = (p₁...p_k)^α.  Тогда   > 100  (при раскрытии скобок получатся все числа 1, ½, ..., ¹/_m  и некоторые другие.

Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	3
Название	Мультипликативные функции
Тема	Неопределено
задача
Номер	03.097