Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos 2 + cos 2 + cos 2 + 4 coscoscos + 1 = 0;
б)  cos² + cos² + cos² + 2 coscoscos = 1.
в) cos 2 + cos 2 + cos 2 = - , где O — центр описанной окружности, H — точка пересечения высот.

   Решение

Темы:    [ Числа Фибоначчи ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11 Название задачи: Числа Фибоначчи и треугольник Паскаля.

Прислать комментарий

Условие

Докажите равенство:  
(Сумма, стоящая в левой части, может быть интерпретирована, как сумма элементов треугольника Паскаля, стоящих в одной диагонали.)

Подсказка

Равенство можно доказать методом математической индукции. Другое решение можно получить, если воспользоваться задачами 60576 и 60403.

Решение 1

Проверим, что данные суммы S_n удовлетворяют рекуррентному определению чисел Фибоначчи:

Решение 2

Рассмотрим последовательности длины  n – 1,  состоящие из нулей и единиц, в которых нет двух рядом стоящих единиц. Согласно задаче 60576 количество таких последовательностей равно F_n+1. С другой стороны, согласно задаче 60403 число таких последовательностей, содержащих ровно k единиц, равно      Суммируя по  k ≤ ⁿ/₂  (большего числа единиц быть не может), получаем нужное равенство.

Источники и прецеденты использования