Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть AA₁, BB₁, CC₁ – высоты остроугольного треугольника ABC, O_A, O_B, O_C – центры вписанных окружностей треугольников AB₁C₁, BC₁A₁, CA₁B₁ соответственно; T_A, T_B, T_C – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника T_AO_CT_BO_AT_CO_B равны.

   Решение

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Разлагая число ^a/_b в непрерывную дробь, решите в целых числах уравнения  ax – by = 1,  если
  a)  a = 101,  b = 13;   б)  a = 79,  b = 19.

Решение

  a)  ¹⁰¹/₁₃ = [7; 1, 3, 3].  [7; 1, 3] = ³¹/₄,  поэтому (см. задачу 60603)  (4, 13)  – частное решение данного уравнения. Общее решение находится по формуле из задачи 60514.

  б)  ⁷⁹/₁₉ = [4; 6, 3].  [4; 6] = ²⁵/₆,  поэтому  (–6, –25)  – частное решение.

Ответ

а)  x_k = 4 + 13k,  y_k = 31 + 101k  (k ∈ Z);   б)  x_k = – 6 + 19k,  y_k = – 25 + 79k  (k ∈ Z).

Источники и прецеденты использования