|
|
 |
Условие
Пусть AA1, BB1, CC1 – высоты остроугольного треугольника ABC, OA, OB, OC – центры вписанных окружностей треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно; TA, TB, TC – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соответственно. Докажите, что все стороны шестиугольника TAOCTBOATCOB равны.
Также доступны документы в формате TeX
Решение
Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, a r – её радиус.
Как известно, треугольники B1AC1 и CAB подобны.
Пусть X – точка касания вписанной окружности треугольника B1AC1 со стороной AC1 (то есть с прямой AB). При указанном подобии точка TB переходит в X. Поэтому AX : ATB = AB1 : AB, то есть треугольники AB1B и AXTB тоже подобны. Значит, угол AXTB – тоже прямой, поэтому прямая TBX проходит через центр OA вписанной в треугольник B1AC1 окружности. Таким образом, TBOA ⊥ AB, то есть TBOA || ITC.
Аналогично, TCOA || ITB, то есть TBOATCI – параллелограмм. Значит, TBOA = ITC = r. Точно так же и все стороны шестиугольника равны r.
Замечания
1. Для знатоков. Перпендикулярность прямых TBX и AC1 можно доказать по-другому. При подобии треугольников отрезок AC отображается на отрезок AC1 линейно. В силу единственности такого отображения оно совпадает с ортогональной проекцией AC на AC1. Поэтому точка X является проекцией соответственной ей точки TB.
2. 6 баллов.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 6469 |
| олимпиада | |
| Название | Турнир городов |
| Турнир | |
| Дата | 2001/2002 |
| Номер | 23 |
| вариант | |
| Вариант | весенний тур, основной вариант, 10-11 класс |
| Задача | |
| Номер | 5 |
| олимпиада | |
| Название | Московская математическая олимпиада |
| год | |
| Номер | 65 |
| Год | 2002 |
| вариант | |
| Класс | 11 |
| задача | |
| Номер | 5 |
