Задача 60625

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Квадратные уравнения. Формула корней ] [ Теорема о промежуточном значении. Связность ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если положительная квадратичная иррациональность  α =   разлагается в чисто периодическую цепную дробь, то сопряженная ей квадратичная иррациональность  α' =   принадлежит интервалу  (– 1, 0).

Решение

Пусть  α = []  – данная квадратичная иррациональность. Рассмотрим подходящую дробь      (см. задачу 60601). Заменив a₀ на α, получим равенство     Значит, α является корнем трёхчлена
f(x) = Q_nx² + (Q_n–1 – P_n)x – P_n–1.  Вторым его корнем будет сопряженная иррациональность (см. решение задачи 60624). Так как  f(0) = – P_n–1 < 0  и
f(–1) = (P_n – P_n–1) + (Q_n – Q_n–1) > 0,  то второй корень принадлежит интервалу  (–1, 0).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.173