Задача 60666

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Делимость чисел. Общие свойства ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Дан многочлен с целыми коэффициентами. Если в него вместо неизвестного подставить 2 или 3, то получаются числа, кратные 6.
Докажите, что если вместо неизвестного в него подставить 5, то также получится число, кратное 6.

Решение

Пусть P – такой многочлен. По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562) число  P(5) – P(2)  делится на
5 – 2 = 3,  а число  P(5) – P(3)  чётно. Следовательно, P(5) кратно как 3, так и 2, то есть кратно 6.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	2
Название	Делимость
Тема	Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер	04.040