Задача 60687

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Десятичная система счисления ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

а) Докажите, что квадрат целого числа не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами, отличными от 0.
б) Какими тремя цифрами может оканчиваться целое число, квадрат которого оканчивается тремя одинаковыми цифрами, отличными от 0?

Решение

  Квадрат не может оканчиваться на 2 и 8. Кроме того, квадрат не может оканчиваться на две нечётные цифры (см. задачу 31234). Остаются четвёрки и шестерки.
  Число вида ...66 чётно, но не делится на 4, поэтому квадратом быть не может.

  а) Пусть  n² ≡ 4444 (mod 10000).  Тогда n чётно. Подставив  n = 2m,  получим  m² ≡ 1111 (mod 2500).  Значит,  m² ≡ 11 (mod 100),  то есть m² оканчивается на две единицы, что невозможно.

  б)  462² = 213444.

Ответ

б) Тремя четвёрками.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.061