Задача 60701

Темы:    [ Целочисленные треугольники ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Уравнения в целых числах ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Пусть в прямоугольном треугольнике длины сторон выражаются целыми числами. Докажите, что
  а) длина одного из катетов кратна 3,
  б) длина одной из трёх сторон делится на 5.

Подсказка

Перейдите от равенства  a² + b² = c²  к сравнению по соответствующему модулю.

Решение

а) См. решение задачи 30379.

б) Пусть ни одно из чисел не делится на 5. Тогда каждый квадрат сравним с  ±1 (mod 5).  Но равенство  ±1 ±1 ≡ ±1 (mod 5)  невозможно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.075