Задача 60704

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

При каких целых n выражение  n² – 6n – 2  делится на  а) 8;  б) 9;  в) 11;  г) 121?

Решение

а)  n² – 6n – 2 ≡ (n + 1)² – 3 (mod 8),  а квадрат не может давать остатка 3 при делении на 8 (см. задачу 60685).

б)  n² – 6n – 2 = (n – 3)² – 2 (mod 9),  а квадрат не может давать остатка 2 при делении на 9 (см. задачу 60685).

в)  n² – 6n – 2 = (n – 3)² (mod 11).

г)  n² – 6n – 2 = (n – 3)² – 11.  Если это число делится на 121, то  n – 3  делится на 11. Но тогда  (n – 3)²  делится на 121, а 11 – не делится.

Ответ

а), б), г) ни при каких;   в) при  n = 3 + 11k  (k ∈ Z).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.078