Задача 60719

Темы:    [ Простые числа и их свойства ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10 Название задачи: Теорема Вильсона.

Условие

Докажите, что для простого p   (p – 1)! ≡ – 1 (mod p).

Решение

Все числа от 2 до  p – 2  можно разбить на пары взаимно обратных по умножению чисел, то есть для каждого a из этого интервала найдётся такое b (отличное от a по задаче 60718), что  ab ≡ 1 (mod p).  Поэтому  (p – 1)! ≡ p – 1 (mod p).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	3
Название	Сравнения
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
задача
Номер	04.093