Задача 60747

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что если p – простое число,  p ≠ 2, 5,  то длина периода разложения ¹/_p в десятичную дробь делит  p – 1.
Приведите пример, когда длина периода совпадает с  p – 1.

Решение

  Согласно малой теореме Ферма  10^p–1 – 1  делится на p. Таким образом, эта задача – частный случай задачи 60876.
  В качестве примера годится  ¹/₇ = 0,(142857).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.121