Задача 60749

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Пусть n – натуральное число, не кратное 17. Докажите, что либо  n⁸ + 1,  либо  n⁸ – 1  делится на 17.

Подсказка

Воспользуйтесь равенством  n¹⁶ – 1 = (n⁸ – 1)(n⁸ + 1).

Решение

Согласно малой теореме Ферма (см. задачу 60736)  n¹⁶ – 1 = (n⁸ – 1)(n⁸ + 1)  делится на 17. Значит, один из множителей делится на 17.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.123
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	098