Задача 60736

Темы:    [ Малая теорема Ферма ] [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11 Название задачи: Малая теорема Ферма.

Условие

Малая теорема Ферма. Пусть p – простое число и p не делит a. Тогда  a^p–1 ≡ 1 (mod p).
Докажите теорему Ферма, разлагая  (1 + 1 + ... + 1)^p  посредством полиномиальной теоремы (см. задачу 60400).

Решение

Запишем a в виде суммы a единиц. Заметим, что все коэффициенты     в полиномиальной теореме кратны p, если все k_i отличны от нуля (см. задачу 60668). Поэтому  a^p ≡ (1 + 1 +...+ 1)^p ≡ 1 + 1 + … + 1 = a (mod p).  Так как a и p взаимно просты, отсюда следует, что
a^p–1 ≡ 1 (mod p).

Замечания

Другие доказательства малой теоремы Ферма см. в задачах 60741, 60743.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	4
Название	Арифметика остатков
Тема	Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер	4
Название	Теоремы Ферма и Эйлера
Тема	Малая теорема Ферма
задача
Номер	04.110