Задача 60851

Темы:    [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Корни. Степень с рациональным показателем (прочее) ] [ Тригонометрия (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Докажите иррациональность следующих чисел:

а)   ;

б)   ;

в)   ;

г)   ;

д)  cos 10° ;

е)  tg 10° ;

ж)  sin 1° ;

з)  log₂3 .

Решение

а) Пусть   = ^m/_n,  где натуральные числа m и n взаимно просты. Тогда  m³ = 17n³.  Значит, m кратно 17, а n – нет. Следовательно, левая часть делится на 17³, а правая не делится. Противоречие.

б) Пусть    рационально, тогда и    рационально. Значит, и    рационально. Но иррациональность    доказывается аналогично а).

в) Пусть число  a =   рационально. Тогда    то есть число     рационально. Но это не так, что доказывается аналогично б).

г) Пусть число  b =   рационально. Тогда    Значит, и    рационально, что не так.

д) Пусть число  cos 10°  рационально. Тогда и число    рационально, что не так.

е) Пусть число  x = tg 10°  рационально. Тогда и число     рационально, что не так.

ж) Пусть число  sin 1°  рационально. Тогда и числа  sin 3°,  sin 6°  и  sin 18°  рациональны. Но     – число иррациональное. Противоречие.

з) Пусть  log₂3 = ^m/_n,  где натуральные числа m и n взаимно просты. Тогда  3ⁿ = 2^m,  что неверно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.013