Задача 60873

Темы:    [ Число e ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4 Классы: 10,11 Название задачи: Иррациональность чмсла e.

Условие

Число e определяется равенством    Докажите, что

а)  

б)    где  0 < r_n ≤ 1/_n!n;

в)  e – иррациональное число.

Решение

  а) Положим    
  Достаточно доказать, что  x_n < y_n ≤ e  при  n > 2.  Левое неравенство очевидно, так как    
  Для доказательства правого заметим, что    при  m > n.  Переходя к пределу при  m → ∞,  получаем   

  б) Из а) следует, что

0 < r_n 

  в) Предположим, что  e = ^m/_n,  где m и n – натуральные числа. Тогда     где – k – целое число.

 Противоречие, так как  (n – 1)!m  – целое число, а  k + n!·r_n  не целое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	5
Название	Числа, дроби, системы счисления
Тема	Системы счисления
параграф
Номер	1
Название	Рациональные и иррациональные числа
Тема	Дроби
задача
Номер	05.035