ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



Задача 60873

Темы:   [ Число e ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
Сложность: 7
Классы: 10,11

Иррациональность числа e. Число e определяется равенством e = $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ \left(\vphantom{1+\dfrac1n}\right.$1 + $ {\dfrac{1}{n}}$$ \left.\vphantom{1+\dfrac1n}\right)^{n}_{}$. Докажите, что
а)     e = $ \lim\limits_{n\to
\infty}^{}$$ \left(\vphantom{
2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right.$2 + $ {\dfrac{1}{2!}}$ + $ {\dfrac{1}{3!}}$ +...+ $ {\dfrac{1}{n!}}$$ \left.\vphantom{
2+\dfrac1{2!}+\dfrac1{3!}+\ldots+\dfrac1{n!}}\right)$;


б)     e = 2 + $ {\dfrac{1}{2!}}$ + $ {\dfrac{1}{3!}}$ +...+ $ {\dfrac{1}{n!}}$ + rn, где 0 < rn $ \leqslant$ $ {\dfrac{1}{n!\,n}}$;


в)    e — иррациональное число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 76475

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
[ Число e ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Что больше: 300! или 100300?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61115

 [Формула Эйлера]
Темы:   [ Комплексная экспонента ]
[ Число e ]
[ Предел функции ]
Сложность: 4+
Классы: 10,11

Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством     Докажите формулу Эйлера:   ea+ib = ea(cos b + i sin b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60874

 [Число e и комбинаторика]
Темы:   [ Теория графов (прочее) ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Число e ]
[ Раскраски ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Каждые две из этих точек соединены отрезком, и каждый отрезок окрашен в один из k цветов. Докажите, что если  N > [k!e],  то среди данных точек можно выбрать такие три, что все стороны образованного ими треугольника будут окрашены в один цвет.


Прислать комментарий     Решение

Задача 65276

Темы:   [ Дискретное распределение ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Число e ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

  По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" n мальчиков. В тире, куда пришли ребята, n мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.
  а) Найти среднее количество поражённых мишеней.
  б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше n/2?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 6]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .