ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65276
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Число e ]
[ Предел последовательности, сходимость ]
[ Ограниченность, монотонность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  По случаю начала зимних каникул все мальчики из 8 "В" пошли в тир. Известно, что в 8 "В" n мальчиков. В тире, куда пришли ребята, n мишеней. Каждый из мальчиков случайным образом выбирает себе мишень, при этом некоторые ребята могли выбрать одну и ту же мишень. После этого все одновременно делают залп по своим мишеням. Известно, что каждый из мальчиков попал в свою мишень. Мишень считается поражённой, если в нее попал хоть один мальчик.
  а) Найти среднее количество поражённых мишеней.
  б) Может ли среднее количество поражённых мишеней быть меньше n/2?


Решение

  а) Обозначим через p вероятность того, что данная мишень поражена. В силу симметрии, искомое среднее число пораженных целей равно np.
  Заметим, что вероятность того, что данный мальчик поразит данную мишень, равна 1/n. Следовательно, вероятность того, что данный мальчик не поразит данную мишень, равна  1 – 1/n.  Поэтому (в силу независимости выстрелов) вероятность того, что ни один мальчик не поразит данную мишень равна  (1 – 1/n)n.  Значит, вероятность того, что хотя бы один мальчик поразит данную мишень, равна  1 – (1 – 1/n)n.
  Таким образом, среднее количество поражённых мишеней равно  n(1 – (1 – 1/n)n).

  б) Покажем, что среднее количество поражённых мишеней больше n/2. Для этого достаточно показать, что  (1 – 1/n)n < ½.
  Заметим, что последовательность     возрастает. Действительно последовательность bn обратных чисел     убывает (см. решение задачи 61394 в).
  Кроме того,     следовательно,     (см. задачу 60873).


Ответ

а)  n(1 – (1 – 1/n)n);   б) не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2008
задача
Номер 19

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .