|
|
 |
Условие
Докажите неравенства:
а)
б) при n > 1;
в) при n > 6.
Решение
а) Левое неравенство доказано в задаче 78152. Правое неравенство следует из неравенства Коши.
б) Заметим, что n! > 2n–1. Следовательно,
Докажем левое неравенство по индукции. База (n = 1) очевидна.
Шаг индукции. поскольку
Правое неравенство доказывается аналогично с использованием очевидного неравенства (1 + 1/n)n > 2 при n > 1.
в) Заметим, что последовательность (1 + 1/n)n возрастает. Действительно,
(мы использовали неравенство Бернулли, см. задачу 30899).
С другой стороны, последовательность (1 + 1/n+1) убывает. Действительно,
Поскольку число e по определению равно то
Докажем оба неравенства по индукции. База (n = 7) проверяется непосредственно.
Шаг индукции. поскольку
поскольку
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 10 |
| Название | Неравенства |
| Тема | Алгебраические неравенства и системы неравенств |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Различные неравенства |
| Тема | Алгебраические неравенства (прочее) |
| задача | |
| Номер | 10.043 |
