ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 78152
Темы:    [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Доказать, что если целое  n > 2,  то  (n!)² > nn.


Подсказка

Разложите (n!)² на n множителей, каждый из которых не меньше n.


Решение

(n!)² = (1·2·...·(n – 1)·n)·(n·(n – 1)·...·2·1) = (1·n)·(2·(n – 1))·...·(n·1).  Каждый из сомножителей имеет вид  k(n + 1 – k)  для некоторого k от 1 до n. Но
k(n + 1 – k) = n + (k – 1)(n – k) ≥ n,  причём равенство достигается только при  k = 1  или  k = n.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 21
Год 1958
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .