Задача 61115

Темы:    [ Комплексная экспонента ] [ Число e ] [ Предел функции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11 Название задачи: Формула Эйлера.

Условие

Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством     Докажите формулу Эйлера:   e^a+ib = e^a(cos b + i sin b).

Решение

  Выделим в выражении     ту часть, которая будет стремиться к e^a:     Заметим, что  
  Теперь второй предел находится по формуле Муавра:

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.051