|
|
 |
Условие
Найдите все шестизначные числа, которые увеличиваются в целое число раз при перенесении последней цифры в начало.
Решение
Запишем условие в виде n(10a + b) = 105b + a, где a – пятизначное число, b – последняя цифра шестизначного числа, n – целое число от 1 до 9. Переписав это уравнение в виде (105 – n)b = (10n – 1)a, видим, что (105 – n)b делится на 10n – 1.
Случай n = 1 очевиден.
При n = 2, 3, 6, 8, 9 число 10n – 1 – простое двузначное (это соответственно 19, 29, 59, 79, 89), значит, цифра b на него не делится. Нетрудно проверить, что в каждом из этих случаев 105 – n также не делится на 10n – 1.
При n = 7 число 10n – 1 равно 69. b может делиться на 3. Но 99994 не делится на 23.
При n = 4 число 10n – 1 равно 39. 99996 = 39·2564. Проверкой убеждаемся, что все пятизначные числа 2564·4, 2564·5, ..., 2564·9 подходят.
При n = 5 число 10n – 1 равно 49. 99995 = 7·14285. 14285 на 7 не делится, значит, b = 7. Действительно, число 142857 подходит.
Ответ
142857, 102564, 128205, 153846, 179487, 205128, 230769, 111111, 222222, ..., 999999.
Замечания
Можно решать задачу с помощью десятичных дробей, как задачу 60889. Но перебор получается еще более длинным.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Числа, дроби, системы счисления |
| Тема | Системы счисления |
| параграф | |
| Номер | 2 |
| Название | Десятичные дроби |
| Тема | Десятичные дроби |
| задача | |
| Номер | 05.052 |
