ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60925
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Симметрические многочлены ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Для многочленов  f(x) = x² + ax + b  и  g(y) = y² + py + q  с корнями x1, x2 и y1, y2 соответственно, выразите через a, b, p, q их результант

R(f, g) = (x1y1)(x1y2)(x2y1)(x2y2).


Решение

(x1y1)(x1y2)(x2y1)(x2y2) = g(x1)g(x2) = (– ax1b + px1 + q)(– ax2b + px2 + q) = (p – ax1x2 + (p – a)(q – b)(x1 + x2) + (q – b)² =
= (p – ab – (p – a)(q – b)a + (q – b)² = (p – a)(pb – ab – qa + ab) + (q – b)² = (p – a)(pb – aq) + (q – b)².


Ответ

(p – a)(pb – aq) + (q – b)².

Замечания

Вычисление результанта позволяет проверить многочлены f(x) и g(y) на наличие у них общих корней.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 6
Название Многочлены
Тема Многочлены
параграф
Номер 1
Название Квадратный трехчлен
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 06.002

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .