Задача 60936

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Известно, что уравнение  x² + 5bx + c = 0  имеет корни x₁ и x₂,  x₁ ≠ x₂,  а некоторое число является корнем уравнения  y² + 2x₁y + 2x₂ = 0  и корнем уравнения  z² + 2x₂z + 2x₁ = 0.  Найти b.

Решение

Общий корень уравнений  y² + 2x₁y + 2x₂ = 0  и  y² + 2x₂y + 2x₁ = 0  является также корнем их разности – уравнения  2(x₁ – x₂)y + 2(x₂ – x₁) = 0.  Поскольку  x₁ – x₂ ≠ 0,  то  y – 1 = 0,  то есть  y = 1.  Подставляя в первое уравнение, получаем  1 + 2(x₁ + x₂) = 0.  Отсюда  5b = – (x₁ + x₂) = ½.

Ответ

b = ¹/₁₀.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.013