Задача 60941

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10,11

Условие

Укажите все точки плоскости  (x, y),  через которые проходит хотя бы одна кривая семейства  y = p² + (2p – 1)x + 2x².

Решение

Точка  (x, y)  лежит на одной из указанных кривых тогда и только тогда, когда уравнение  p² + 2px + (2x² – x – y) = 0  имеет решение (относительно p), то есть когда  ^D/₄ = x² – (2x² – x – y) = y + x – x² ≥ 0.

Ответ

Все точки над параболой  y = x² – x,  включая саму параболу.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.018