Задача 60954

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

При каких значениях параметра a оба корня уравнения  (2 – a)x² – 3ax + 2a = 0  больше ½?

Решение

  При  a < 0  и при  a > 2  коэффициент при x² и свободный член имеют разные знаки, то есть один из корней отрицателен. При  a = 0  один из корней равен 0, при  a = 2  уравнение имеет только один корень.
  Рассмотрим участок  0 < a < 2.  Дискриминант  D = 9a² – 8a(2 – a) = 17a² – 16a  положителен при  a > ¹⁶/₁₇.  При этих значениях a
f(½) = ¼ (2 – a) – ³/₂ a + 2a = ¼ a + ½ > 0  и абсцисса вершины     следовательно, оба корня больше ½.

Ответ

При  ¹⁶/₁₇ < a < 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.031