Задача 60955

Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ] [ Методы решения задач с параметром ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

При каких значениях параметра a оба корня уравнения  (1 + a)x² – 3ax + 4a = 0  больше 1?

Решение

  Заметим, что  a ≠ – 1.
  Дискриминант  9a² – 16a(1 + a) > 0,  поэтому  7a² + 16a < 0.  Тем самым область значений a сужается до интервалов  (– ¹⁶/₇, –1)  и  (– 1, 0).
  Далее, абсцисса вершины параболы должна быть больше 1:     Решение этого неравенства сужает область значений a до  (– ¹⁶/₇, –1).   При таких значениях a ветви параболы направлены вниз. Поэтому значение трёхчлена в точке 1 должно быть отрицательно:  (1 + a) – 3a + 4a = 2a + 1 < 0.  Это условие выполнено на всем указанном интервале.

Ответ

При  – ¹⁶/₇ < a < – 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.032