|
|
 |
Условие
При каких значениях параметра a уравнение (a – 1)x² – 2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?
Решение
При a = 1 уравнение превращается в линейное: 4 – 4x = 0, единственный корень которого x = 1.
Пусть a ≠ 1. Уравнение может иметь один кратный неотрицательный корень или два различных корня, из которых один – неотрицательный.
В первом случае дискриминант (a + 1)² – 2(a – 1)(a + 1) = – a² + 2a + 3 = 0, то есть a = –1 или a = 3. При a = –1 уравнение превращается в 2x² = 0 и имеет единственный корень x = 0. При a = 3 уравнение превращается в 2(x – 2)² = 0 и имеет единственный корень x = 2.
Во втором случае дискриминант – a² + 2a + 3 > 0 ⇔ – 1 < a < 3, a ≠ 1.
При этом условии произведение корней не может равняться нулю (поскольку свободный член отличен от нуля), поэтому ровно один из корней неотрицателен тогда и только тогда, когда произведение корней отрицательно: ⇔ – 1 < a < 1.
Ответ
–1 ≤ a ≤ 1, a = 3.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Алфутова Н.Б., Устинов А.В. |
| Год издания | 2002 |
| Название | Алгебра и теория чисел |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 1 |
| глава | |
| Номер | 6 |
| Название | Многочлены |
| Тема | Многочлены |
| параграф | |
| Номер | 1 |
| Название | Квадратный трехчлен |
| Тема | Неизвестная тема |
| задача | |
| Номер | 06.033 |
