Задача 60959

Темы:    [ Методы решения задач с параметром ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ] [ Неравенства. Метод интервалов ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству  (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0  хотя бы при одном значении a из отрезка  [–1, 2].

Решение

  Будем считать a неизвестным, а x – параметром. Тогда вопрос задачи станет таким:
    при каких значениях параметра x трёхчлен  f_x(a) = a² + (x³ + 2x² – 4)a – 2x³ – x² + 6x – 5  принимает хотя бы одно положительное значение на отрезке
[–1, 2] ?
  Очевидно, это происходит тогда и только тогда, когда хотя бы одно из чисел  f_x(–1) = 6x – 3x³ – 3x²,   f_x(2) = 3x² + 6x – 9  положительно.
  f_x(–1) > 0   ⇔   x(x – 1)(x + 2) < 0   ⇔   x < –2  или  0 < x < 1.
  f_x(2) > 0   ⇔   x² + 2x – 3 < 0   ⇔   x < – 3  или  x > 1.
  Осталось объединить области решений.

Ответ

x < –2,  0 < x < 1,  x > 1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	1
Название	Квадратный трехчлен
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	06.036