Задача 61006

Тема:    [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

Можно ли разложить на множители с целыми коэффициентами многочлен  x⁴ + x³ + x² + x + 12?

Решение

Попробуем представить данный многочлен в виде  (x² + ax + 3)(x² + bx + 4).  Раскрыв скобки. получим соотношения
a + b  = 1,  ab + 3 + 4 = 1,  4a + 3b = 1.  Вычитая из третьего равенства утроенное первое, получим  a = –2.  Отсюда  b = 3,  что удовлетворяет и второму соотношению. Итак,  x⁴ + x³ + x² + x + 12 = (x² – 2x + 3)(x² + 3x + 4).

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.083