Задача 61007

Темы:    [ Разложение на множители ] [ Исследование квадратного трехчлена ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Докажите, что многочлен  x⁴ + px² + q  всегда можно разложить в произведение двух многочленов второй степени.

Решение

   Если  D = p² – 4q ≥ 0,  то трёхчлен  t² + pt + q  имеет два корня t₁ и t₂, и  x⁴ + px² + q = (x² – t₁)(x² – t₂).
   Пусть  D < 0.  Тогда q положительно, то есть  q = r²  (r > 0),  и  p² – 4r² = (p – 2r)(p + 2r) < 0.  Значит, одно из чисел  p – 2r,  p + 2r  отрицательно.
   Если отрицательно  p – 2r,  то  p – 2r = – a²  и  x⁴ + px² + q = (x² + r)² + (p – 2r)x² = (x² – ax + r)(x² + ax + r).
   Если отрицательно  p + 2r  (p + 2r = – a²),  то аналогично  x⁴ + px² + q = (x² – ax – r)(x² + ax – r).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.084