Задача 61013

Темы:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Рациональные и иррациональные числа ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10 Название задачи: Теорема о рациональных корнях многочлена.

Условие

Докажите, что если  (p, q) = 1  и  ^p/_q  – рациональный корень многочлена  P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀  с целыми коэффициентами, то
  а)  a₀ делится на p;
  б)  a_n делится на q.

Решение

Условие  f(^p/_q) = 0  можно записать в виде  a₀qⁿ + a₁pq^n–1 + ... + a_npⁿ = 0.  Все слагаемые в левой части, кроме первого, кратны p, значит, и a₀qⁿ делится на p. Но p и q взаимно просты, следовательно, a₀ делится на p. Аналогично доказывается, что a_n кратно q.

Замечания

Эти соотношения позволяют перечислить все рациональные числа, которые могут быть корнями данного многочлена.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	3
Название	Разложение на множители
Тема	Формулы сокращенного умножения
задача
Номер	06.090