Задача 61084

Тема:    [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]

Сложность: 3 Классы: 9,10,11

Условие

Докажите, что если  |z| = 1  (z ≠ –1),  то для некоторого действительного t справедливо равенство  z = (1 + it)(1 – it)^–1.

Решение

  Выразим t через z:  t = i(1 – z)(1 + z)^–1.
  Сначала найдём значения t, которые соответствуют точкам z, лежащим на единичной окружности. Пусть  z = cos φ + isin φ.  Представим числа  1 – z  и  1 + z  в тригонометрической форме:  1 – z = 2 cos ^φ+π/₂ (cos ^φ+π/₂ + isin ^φ+π/₂),   1 + z = 2 cos ^φ/₂ (cos ^φ/₂ + isin ^φ/₂).
  Подставляя эти представления в формулу для t, находим, что  t = tg ^φ/₂.  Обратные вычисления показывают, что выбирая t именно таким образом, мы получим все точки единичной окружности кроме точки  z = –1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.020