Задача 61087

Тема:    [ Преобразования комплексной плоскости (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Точка z против часовой стрелки обходит квадрат с вершинами –1 – i,  2 – i,  2 + 2i,  –1 + 2i.  Как при этом ведут себя точки
  a)  z²;   б)  z³;   в)  z^–1?

Ответ

Движется
a) против часовой стрелки по параболе  x =  ^y2/₄ – 1  от точки  (0, 2)  до точки  (3, –4),  потом по параболе  x = 4 – ^y2/₁₆  от точки  (3, –4)  до точки  (0, 8),  затем по параболе  x = ^y2/₁₆ – 4  от точки  (0, 8)  до точки  (–3, –4)  и по параболе  x = 1 – ^y2/₄  от точки  (–3, –4)  до точки  (0, 2)  (рис. слева);

         

б) против часовой стрелки по кривой  (t³ – 3t, 1 – 3t²)  (–1 ≤ t ≤ 2),  потом по кривой  (8 – 6t², 12t – t³)  (–1 ≤ t ≤ 2),  затем по кривой
(t³ – 12t, 6t² – 8)  (–1 ≤ t ≤ 2)  и по кривой  (3t² – 1, 3t – t³)  (–1 ≤ t ≤ 2)  (рис. в центре);
в) по часовой стрелке по окружности  x² + (y – ½)² = ¼  от точки  (– ½, ½)  до точки  (– ²/₅, ¹/₅),  потом по окружности  (x – ¼)² + y² = ¹/₁₆  от точки  (– ²/₅, ¹/₅)  до точки  (¼, – ¼),  затем по окружности  x² + (y – ¼)² = ¹/₁₆  от точки  (¼, – ¼)  до точки  (– ¹/₅, – ²/₅)  и по окружности  (x + ½)² + y² = ¼  от точки  (– ¹/₅, – ²/₅)  до точки  (– ½, ½)  (рис. справа).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.023