Задача 61097

Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ] [ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ] [ Комплексные числа помогают решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

а) Докажите, что многочлен  P(x) = (cos φ + x sin φ)ⁿ – cos nφ – x sin nφ  делится на  x² + 1.
б) Докажите, что многочлен  Q(x) = xⁿsin φ – ρ^n–1xsin nφ + ρⁿsin(n – 1)φ  делится на  x² – 2ρxcos φ + ρ².

Подсказка

а) Проверьте, что  P(i) = P(– i) = 0.
б) Как и в пункте а), достаточно проверить, что  Q(ρ(cos φ ± sin φ)) = 0.

Решение

  б) Корнями многочлена  x² – 2ρxcos φ + ρ²  являются комплексные числа  z_1,2 = ρ(cos φ ± i sin φ).  Поэтому достаточно проверить, что многочлен Q(z) делится на  z – z₁  и на  z – z₂,  то есть что  Q(z₁) = Q(z₂) = 0.
  Имеем:
ρ^–nQ(z₁) = (cos nφ + i sin nφ) sin φ – (cos φ + i sin φ) sin nφ + sin(n – 1)φ = (cos nφ sin φ – cos φ sin nφ) + sin(n – 1)φ = – sin(n – 1)φ + sin(n – 1)φ = 0.
  Аналогично проверяется, что  Q(z₂) = 0.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	7
Название	Комплексные числа
Тема	Неизвестная тема
параграф
Номер	1
Название	Комплексная плоскость
Тема	Неизвестная тема
задача
Номер	07.033