ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 61098
Темы:    [ Теорема Безу. Разложение на множители ]
[ Комплексные числа помогают решить задачу ]
[ Тригонометрическая форма. Формула Муавра ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите тождества

а)  

б)  

в)  

г)  


Решение

  а) Корнями многочлена  x2n – 1  являются корни степени 2n из 1, то есть числа     Поэтому  x2n – 1 = (x – z0)...(x – z2n–1).  Из чисел zk два –  z0 = 1  и  zn = – 1  – вещественны, а остальные разбиваются на пары сопряженных: zk и z2n–k. Произведения  (x – 1)(x + 1) = x2 – 1  и

 
и дают множители из условия.

  б) – г) Тождества проверяются аналогично.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 7
Название Комплексные числа
Тема Неизвестная тема
параграф
Номер 1
Название Комплексная плоскость
Тема Неизвестная тема
задача
Номер 07.034

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .